群论入门-基本概念阐述

前言

近代数学出现了很多抽象的数学结构,群论就是其中之一。

半群 (Semi Group)

现在有一个集合$S$,和在集合$S$上封闭的二元运算符$\circ :S \times S \to S$,若$\circ$满足结合律,即满足$\forall x,y,z \in S,(x \circ y) \circ z=x \circ (x \circ z)$,那么称集合$S$和二元运算符$\circ$构成一个半群,记做有序对$\left(S,\circ \right)$。通常将二元运算符$\circ$称为该半群的乘法,$a \circ b$可以简写做$ab$,不过为了防止歧义,在下面均全写写做$a \circ b$。总结一下,半群具有以下性质:

  1. 封闭性: $\forall a,b \in S,a \circ b \in S$
  2. 结合律: $\forall x,y,z \in S,(x \circ y) \circ z=x \circ (x \circ z)$

通常在上下文明确的前提下,可以简称为”半群S”。

定理 1.1

对于半群$\left(S,\circ \right)$中的元$a_1, \cdots , a_n \in S$,依此顺序做成的这$n$个元的乘积$a_1 \cdots a_n$与括号的添加方式无关。

打个比方,对于$a,b,c,d \in S$,有

$\left(\left(a \circ b \right) \circ c \right) \circ d = \left(a \circ \left(b \circ c\right)\right) \circ d = a \circ \left(\left(b \circ c\right) \circ d\right)=\left(a \circ b \right) \circ \left(c \circ d\right)=a \circ \left(b \circ \left(c \circ d \right)\right)$

成立.

定理 1.1 证明

使用归纳法证明,$n \le 2$时显然成立.

现设$n > 2$,且任意的少于$n$个的元的半群G中元的乘积与括号的添加方式无关。任给$a_1, \cdots , a_n \in G$及$m \in \{2, \cdots , n-1\}$,有

$\left(a_1 \cdots a_m \right) \circ \left(a_{m+1} \cdots a_n \right) =\left(a_1 \circ \left(a_2 \cdots a_m\right)\right) \circ \left(a_{m+1} \cdots a_n \right) =a_1 \circ \left(\left(a_2 \cdots a_m\right)\left(a_{m+1} \cdots a_n \right)\right)=a_1 \circ \left(a_2 \cdots a_n\right)$

成立.

$Q.E.D$

定理 1.2

假设半群$\left(S,\circ \right)$满足交换律,即满足$\forall a,b \in S,a \circ b=b \circ a$。任给$a_1, \cdots , a_n \in S$,它们的乘积与因子排列顺序无关,即$i_1, \cdots , i_n$为$1, \cdots , n$的全排列时有

$$a_{i_1} \circ a_{i_2} \cdots a_{i_n}=a_1 \circ a_2 \cdots a_n$$

成立.

定理 1.2 证明

证明同定理 1.1 证明,使用归纳法。

半群中元素的幂

对于半群$\left(S,\circ \right)$,设$a \in S$,对于$n=1,2, \cdots$定义

$$a^n=\underbrace{a \circ a \cdots a}_{n}$$

显然有$\forall m,n \in Z^+,a^m \circ a^n=a^{m+n} \wedge \left(a^m \right)^n=a^{mn}$成立.

幺半群 (Monoid)

对于半群$\left(S,\circ \right)$,若存在幺元 (单位元) $e \in S$,使得$\forall a \in S,a \circ e = e \circ a = a$成立,则这个群是一个幺半群。总结一下,幺半群具有以下性质:

  1. 封闭性: $\forall a,b \in S,a \circ b \in S$
  2. 结合律: $\forall x,y,z \in S,(x \circ y) \circ z=x \circ (x \circ z)$
  3. 幺元: $\exists e,\forall a \in S,a \circ e = e \circ a = a$

定理 2

对于幺半群$\left(S,\circ \right)$,幺元是唯一的。

定理 2 证明

假设存在$e_1,e_2 \in S$,使得$e_1$和$e_2$都是幺半群$\left(S,\circ \right)$的幺元,则$e_1=e_1 \circ e_2 = e_2$,所以得证, $Q.E.D$

$Q.E.D$

幺半群中元素的幂

对于幺半群$\left(S,\circ \right)$,$a \in S$可逆 (参见下文),对于$n=1,2, \cdots$定义

$$a^{-n}=\left(a^{-1}\right)^n=\underbrace{a^{-1} \circ a^{-1} \cdots a^{-1}}_{n}$$

易证$\forall m,n \in Z,a^m \circ a^n=a^{m+n} \wedge \left(a^m \right)^n=a^{mn}$成立.

逆元

对于幺半群$\left(S,\circ \right)$的元$a \in S$,假如存在$b \in S$使得$a \circ b = e = b \circ a$,则说$a$在$\left(S,\circ \right)$下可逆,$b$为$a$在$\left(S,\circ \right)$下的逆元,通常记做$a^{-1}$。

定理 3.1

$a \in S$在幺半群$\left(S,\circ \right)$下的逆元是唯一的。

定理 3.1 证明

对于幺半群$\left(S,\circ \right)$,如果$b,c \in S$都是$a \in S$的逆元,那么有

$b=b \circ e=b \circ \left(a \circ c\right)=\left(b \circ a \right) \circ c = e \circ c = c$

所以得证,$Q.E.D$

定理 3.2

对于幺半群$\left(S,\circ \right)$,若$a \in S$可逆,则$a$的逆元$a^{-1}$也可逆,且$\left(a^{-1}\right)^{-1}=a$。

定理 3.2 证明

对于幺半群$\left(S,\circ \right)$,若$a \in S$可逆,则可知存在逆元$a^{-1}$使得$a \circ a^{-1} = e = a^{-1} \circ a$,显然$a^{-1} \circ a = e = a \circ a^{-1}$也成立,而对于$a^{-1}$在$\left(S,\circ \right)$下的逆元,则是$a$,所以得证,$Q.E.D$

定理 3.3

对于幺半群$\left(S,\circ \right)$,若$a,b \in S$可逆,则$a \circ b$也可逆,且$\left(a \circ b\right)^{-1}=b^{-1} \circ a^{-1}$。

定理3.3 证明

对于幺半群$\left(S,\circ \right)$的元$a,b \in S$,有

$\left(a \circ b\right) \circ \left(b^{-1} \circ a^{-1}\right)=\left(\left(a \circ b \right) \circ b^{-1} \right) \circ a^{-1}=\left(a \circ \left(b \circ b^{-1}\right)\right) \circ a^{-1}=e \\ e = b^{-1} \circ \left(\left(a^{-1} \circ a\right) \circ b \right)=b^{-1} \circ \left(a^{-1} \circ \left(a \circ b \right)\right)=\left(b^{-1} \circ a^{-1}\right) \circ \left(a \circ b \right)$

$Q.E.D$

群 (Group)

对于幺半群$\left(S,\circ \right)$,若$\forall a \in S, \exists b,a \circ b = e = b \circ a$成立,则称该幺半群是一个。总结一下,群具有以下性质:

  1. 封闭性: $\forall a,b \in S,a \circ b \in S$
  2. 可逆性: $\forall a \in S, \exists b,a \circ b = e = b \circ a$
  3. 结合律: $\forall x,y,z \in S,(x \circ y) \circ z=x \circ (x \circ z)$
  4. 幺元: $\exists e,\forall a \in S,a \circ e = e \circ a = a$

有限群 (Finite Group) 和 无限群 (Infinite Group)

若群$G$中只有有限个元素,则成$G$为有限群,否则称$G$为无限群。对于有限群$\left(G,\circ \right)$,我们把$G$的基数 (Cardinality)叫做该群的阶 (Order),$|G|=n$时,称该群为$n$阶群

Abel 群 (Abelian Group)

对于群$\left(S,\circ \right)$,若$\forall a,b \in S, a \circ b = b \circ a$成立,则称该群是一个Abel群。也称其为交换群 (Commutative Group)可交换群

而对于那些不是Abel群的群,通常称呼它们为非Abel群

定理 4.1

半群$\left(S,\circ \right)$按照它的运算形成群当且仅当它满足可除性条件:

$$\forall a,b \in S,\exists x,y \in S,a \circ x = b \wedge y \circ a = b$$

定理 4.1 证明

证明分为两个部分.

第一部分

当$\left(S,\circ \right)$是群的时候,

取$x=a^{-1} \circ b$,则

$a \circ x=a \circ \left(a^{-1} \circ b \right)=\left(a \circ a^{-1} \right) \circ b = e \circ b = b$

取$y=b \circ a^{-1}$,则

$y \circ a=\left(b \circ a^{-1} \right)=b \circ \left(a^{-1} \circ a \right) = b \circ e = b$

第二部分

当$\left(S,\circ \right)$是半群时,假设其满足可除性条件,证明其是

取定$a \in S$,有$\exists e \in S,e \circ a = a$,$\forall b \in S,x \in S \to a \circ x=b$,从而

$e \circ b=e \circ \left(a \circ x \right)=\left(e \circ a \right) \circ x=a \circ x=b$

因此$\forall a \in S,a \circ e = e \circ a = a$成立,满足幺元。其中$e$是该半群的幺元

依可除性条件,有$\exists c,d \in S,b \circ c=e=d \circ b$,于是

$(e=d \circ b=d \circ \left(e \circ b \right) =d \circ \left(b \circ c \right) \circ b= \left(d \circ b \right) \circ \left(c \circ b \right)=e \circ \left(c \circ b \right)= c \circ b) \wedge \left(b \circ e=b \circ \left(c \circ b \right)=\left(b \circ c \right) \circ b=e \circ b=b\right)$

所以满足可逆性 $\forall a \in S, \exists b,a \circ b = e = b \circ a$,因此该半群是群。

$Q.E.D$

定理 4.2

分为两个部分:

第一部分

对于群$\left(S,\circ \right)$来说,满足消去律,即:

$\forall a,x,y \in S,\left(a \circ x = a \circ y \to x = y \right) \wedge \left(x \circ a=y \circ a \to x = y \right)$

第二部分

若半群$\left(S,\circ \right)$具有消去律,则其必为群。

定理 4.2 证明

第一部分

$a \circ x = a \circ y \longleftrightarrow a^{-1} \circ a \circ x=a^{-1} \circ a \circ y \longleftrightarrow x = y$

$x \circ a = y \circ a \longleftrightarrow x \circ a \circ a^{-1} = y \circ a \circ a^{-1} \longleftrightarrow x = y$

第二部分

对于半群$\left(S,\circ \right)$,任给$a \in S$,由消去律知$a \circ x \left(x \in S \right)$两两不同。而$S$有限,故$\{a \circ x: x \in S\}=S$,因此$b \in S$时,有$x \in S \to a \circ x=b$成立。

类似的,$\{x \circ a: x \in S\}=S$,因此$b \in S$时,有$y \in S \to y \circ a = b$成立。

因此此半群满足可除性条件,从而得知其是群。

$Q.E.D$

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